MIT RES.6-012 Introduction to Probability 10강

L10.2 Conditional PDFs

https://youtu.be/Kj6iEzXsFkI

L10.3 Comments on Conditional PDFs

https://youtu.be/mKcWk_DmS7M

L10.4 Total Probability & Total Expectation Theorems

https://youtu.be/0cD-tcITuck

L10.5 Independence

https://youtu.be/JCQnsPggTp8

L10.8 Bayes Rule Variations

https://youtu.be/WSrVCCBOeg4

L10.9 Mixed Bayes Rule

https://youtu.be/363JQxFwLXg

L09.2 Conditioning A Continuous Random Variable on an Event
https://youtu.be/mHj4A1gh_ws

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위그림에서 첫번째 파란식에서 두번째 파란식으로 넘어갈때 괄호안에 joint probability는 이미 하나가 다른 하나를 포함하고 있으므로 교집합에 해당하는 작은 부분만 남기고 정리한다.

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L09.5 Total Probability & Expectation Theorems
https://youtu.be/Mv8tuMBQk-g

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uniform 의 E[X]는 a+b/2이므로 0 ~ 2의  E[X] 값은 1,  6 ~ 8의 E[X] 값은 7 이 된다.

L09.6 Mixed Random Variables
https://youtu.be/VJhDWandNwc

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continuous 확률분포에서는 한 지점에서 확률값을 가지지 않는다. 그런데 위의 그림에서 x =1이라는 점에서 특정 확률값을 가지므로 continuous 확률분포라고 할수 없다. 

전체 확률분포의 값을 1로 보고 p, 1-p를 통해 각 부분이 차지하는 값을 찾아낸다.

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L09.7 Joint PDFs
https://youtu.be/O4QYcoxuLHE

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L09.8 From The Joint to the Marginal
https://youtu.be/h8DKVKfWU_Q

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L09.9 Continuous Analogs of Various Propertieshttps://youtu.be/WFMTus20mz4

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L09.10 Joint CDFs
https://youtu.be/AVVbUKstn8A

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F x,y를 각 x 와 y에 대하여 미분하면 각각 적분이 벗겨지고 그럼 f x,y만 남게된다. 녹색으로 쓰여진 부분의 경우 F x,y 에 대해 각각 x 와 y에 대해 미분하면 1이 되게 된다.

L08.2 Probability Density Functions
https://youtu.be/8QFpZ3FndBc

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L08.4 Means & Variances
https://youtu.be/wOmfOJyxZ6M

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L08.5 Mean & Variance of the Uniform
https://youtu.be/bXmDp8R8n8U

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L08.6 Exponential Random Variables
https://youtu.be/FOFtMqCxZt0

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오른쪽 부분은 a >= 0 한 부분의 확률을 구하는 과정이다. a 부터 양의 무한대까지의 적분값을 구하는 과정이 된다. 파란글씨의 부분은 실제 적분하는 과정이다. 왜 a와 -람다가 치환되게 했는지는 이해할수 없었다. 그 아래 빨간글씨에서 a 부터 양의 무한대까지의 값을 구해야 하므로 음의 무한대에서 양의 무한대까지의 값에서 음의 무한대에서 a까지의 값을 빼준다. 

L08.7 Cumulative Distribution Functions
https://youtu.be/4QeL1ma_XJ0

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L08.8 Normal Random Variables
https://youtu.be/6UMv4vb4y7c

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L08.9 Calculation of Normal Probabilities
https://youtu.be/DrBIORgOzSA

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L07.2 Conditional PMFs
https://youtu.be/T_Q3M_HV94w

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L07.3 Conditional Expectation & the Total Expectation Theorem
https://youtu.be/vJAG4EzSQZA

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L07.4 Independence of Random Variables
https://youtu.be/F6H50Hbulbk

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L07.5 Example
https://youtu.be/JsEvwRGa1JA

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L07.6 Independence & Expectations
https://youtu.be/R4nGGs0m7lo

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L07.7 Independence, Variances & the Binomial Variance
https://youtu.be/YQ26hzI4OJk

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L06.2 Variance
https://youtu.be/ZWo1XgAQE5k

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L06.3 The Variance of the Bernoulli & The Uniform
https://youtu.be/7_livg-uaVs

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bernoulli 에 대한 정보 

https://www.statlect.com/probability-distributions/Bernoulli-distribution

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uniform distribution의 variance 정보

https://www.statlect.com/probability-distributions/uniform-distribution

L06.4 Conditional PMFs & Expectations Given an Event
https://youtu.be/2_KBeHiUDiY

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L06.5 Total Expectation Theorem
https://youtu.be/GnEyIawrWBg

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위의 그림은 total expectation theorem을 설명하기 위한 예시이다. 확률분포가 왼쪽과 되있는 경우. total expectation theorem을 사용하기 위해 두 영역으로 구분한다. A1, A2로 구분하고 각각 주어진 A1,A2의 expectation 값과 P(A1) , P(A2)를 구한후  total expectation theorem를 적용시킨다. 

L06.6 Geometric PMF Memorylessness & Expectation
https://youtu.be/MuqLI4otMIQ

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L06.7 Joint PMFs and the Expected Value Rule
https://youtu.be/7nu97OYx4X4

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L06.8 Linearity of Expectations & The Mean of the Binomial
https://youtu.be/TbRh71BMJvw

아래 그림은 일반적인 expectation 성질에 대한 것이다. (제목에 Binomial이라고 써있어서 Binomial에만 해당한다고 착각할수 있지만 이 동영상에서 뒷부분은 Binomial에 관한 것이라 제목이 이런것이다. )

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위에 그림까지는 일반적인 expectation rule에 관한 내용이다.

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L05.2 Definition of Random Variables
https://youtu.be/vfqPpai_9jI

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random variable 개념 잡기 참고 영상

https://youtu.be/3v9w79NhsfI

실제 상황에서 동전을 던진 경우 head, tail이 나올수 있는데 이 각각의 경우를 1, 0으로 대응 시켜 주는 함수가 random variable이다.  주사위를 던져서 나온 값들의 합이렇게 기술하는 것보다 이에 대응하는 값을 만들어 주는 random variable Y를 이용하는 것이 더 깔끔한 것을 알수 있다. 

L05.3 Probability Mass Functions
https://youtu.be/zW1_iugJvF0

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L05.4 Bernoulli & Indicator Random Variables
https://youtu.be/J8L9kRGSvSY

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L05.5 Uniform Random Variables
https://youtu.be/JoQDJMZA7F8

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L05.6 Binomial Random Variables
https://youtu.be/jOC4ATKBWlI

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L05.7 Geometric Random Variables
https://youtu.be/whbKmwMmB4s

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L05.8 Expectation
https://youtu.be/_yJsO5955ZE

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indicator function에 대하여

https://youtu.be/V3pnr5gmJC8

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L05.9 Elementary Properties of Expectation
https://youtu.be/GARQ31BrKQA

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L05.10 The Expected Value Rule
https://youtu.be/gB5TCCfF6e4

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L05.11 Linearity of Expectations
https://youtu.be/0IJFBMIU6x4

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맨 하단의 파란색으로 써있는 내용은 오직 linear 연산에만 적용된다.

L03.2 A Coin Tossing Example
https://youtu.be/rZKUmNvCjis

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위 그림에서 P(H2) 는 첫번째 어느 것을 선택하든 상관없이 두번째에 head가 나오는 경우를 말한다. 그러므로 첫번째 tail, head나온 경우의 경우수를 합해준다. 

P(H2 | H1) 의 경우는 첫번째에는 head가 나오고 그 다음에 두번째에 head가 나온 경우를 말한다. 

L03.3 Independence of Two Events
https://youtu.be/w423ypsUHf0

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disjoint는 independent가 아니다.

L03.4 Independence of Event Complements
https://youtu.be/JZkT3NU2mPM

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A 와 B가 independent이면 A 와 B complement도 independent이다.

L03.5 Conditional Independence
https://youtu.be/7B3cDe39lwY

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L03.7 Independence of a Collection of Events
https://youtu.be/UbQcqFH33G0

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내 추측:

A1과 A2, A1과 A3, A2와 A3가 pairwise independence라고 하더라도 A1, A2, A3가 다같이 indepedent하다고 할수 없다. 다음 그림을 보고 확인할것. 위의 그림에서 맨밑 빨간글씨는 오해를 불러 일으키는 것 같다.

L03.8 Independence Versus Pairwise Independence
https://youtu.be/aJXfyfQs2Mc

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pairwise independent라고 해서 independent라는 이야기는 아니다.